梯度求解

题目描述

西西艾弗岛运营公司近期在大力推广智能化市政管理系统。

这套系统是由西西艾弗岛信息中心研发的。

它的主要目的是，通过详细评估岛上各处的市政设施的状况，来指导市政设施的维护和更新。

这套系统的核心是一套智能化的传感器网络，它能够自动地对岛上的市政设施进行评估。

对市政设施的维护是需要一定成本的，而年久失修的市政设施也可能给岛上的居民造成损失。

为了能够平衡成本和收益，信息中心研发了一款数学模型，描述这些变量和损益之间的复杂数学关系。

要想得到最优化的成本，就要依靠梯度下降算法来求解。

梯度下降算法中，求解函数在一点处对某一自变量的偏导数是十分重要的。

小 $C$ 负责实现这个功能，但是具体的技术实现，他还是一头雾水，希望你来帮助他完成这个任务。

设被求算的函数 $u=f(x_1,x_2,…,x_n)$，本题目要求你求出 $u$ 对 $x_i$ 在 $(a_1,a_2,…,a_n)$ 处的偏导数 $\frac{∂u}{∂x_i}(a_1,a_2,…,a_n)$。

求算多元函数在一点处对某一自变量的偏导数的方法是：

将函数的该自变量视为单一自变量，其余自变量认为是常数，运用一元函数求导的方法求出该偏导数表达式，再代入被求算的点的坐标即可。

例如，要求算 $u=x_1 \cdot x_1 \cdot x_2$ 对 $x_1$ 在 $(1,2)$ 处的偏导数，可以将 $x_2$ 视为常数，依次应用求导公式。

先应用乘法的求导公式：$(x_1 \cdot (x_1 \cdot x_2))’ = x_1’(x_1 \cdot x_2) + x_1(x_1 \cdot x_2)’$；再应用常数与变量相乘的求导公式，得到 $x_1’ \cdot x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_1’$；最后应用公式 $x’=1$ 得到 $1 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 \cdot 1$。

整理得 $\frac{∂u}{∂x_1} = 2x_2 \cdot x_1$。

再代入 $(1,2)$ 得到 $\frac{∂u}{∂x_1}(1,2)=4$。

常见的求导公式有：

• $c’=0$（$c$ 是常数）
• $x’=1$
• $(u+v)’ = u’ + v’$
• $(cu)’ = cu’$（$c$ 是常数）
• $(u-v)’ = u’ - v’$
• $(uv)’ = u’v+uv’$

本题目中，你需要求解的函数 $f$ 仅由常数、自变量和它们的加法、减法、乘法组成。

且为程序识读方便，函数表达式已经被整理为逆波兰式（后缀表达式）的形式。

例如，$x_1 \cdot x_1 \cdot x_2$ 的逆波兰式为 x1 x1 * x2 *。

逆波兰式即为表达式树的后序遍历的结果。若要从逆波兰式还原原始计算算式，可以按照这一方法进行：假设存在一个空栈 $S$，依次读取逆波兰式的每一个元素，若读取到的是变量或常量，则将其压入 $S$ 中；若读取到的是计算符号，则从 $S$ 中取出两个元素，进行相应运算，再将结果压入 $S$ 中。

最后，若 $S$ 中存在唯一的元素，则该表达式合法，其值即为该元素的值。

例如对于逆波兰式 x1 x1 * x2 *，按上述方法读取，栈 $S$ 的变化情况依次为（左侧是栈底，右侧是栈顶）：

1. $x_1$；
2. $x_1,x_1$；
3. $(x_1 \cdot x_1)$；
4. $(x_1 \cdot x_1), x_2$；
5. $((x_1 \cdot x_1) \cdot x_2)$

输入格式

输入的第一行是由空格分隔的两个正整数 $n$、$m$，分别表示要求解函数中所含自变量的个数和要求解的偏导数的个数。

输入的第二行是一个逆波兰式，表示要求解的函数 $f$。其中，每个元素用一个空格分隔，每个元素可能是：

• 一个自变量 $x_i$，用字符 x 后接一个正整数表示，表示第 $i$ 个自变量，其中 $i=1,2,…,n$。例如，x1 表示第一个自变量 $x_1$。
• 一个整常数，用十进制整数表示，其值在 $-10^5$ 到 $10^5$ 之间。
• 一个运算符，用 + 表示加法，- 表示减法，* 表示乘法。

输入的第三行到第 $m+2$ 行，每行有 $n+1$ 个用空格分隔的整数。

其中第一个整数是要求偏导数的自变量的编号 $i=1,2,…,n$，随后的整数是要求算的点的坐标 $a_1,a_2,…,a_n$。

输入数据保证，对于所有的 $i=1,2,…,n$，$a_i$ 都在 $-10^5$ 到 $10^5$ 之间。

数据范围

$1 \le n, m \le 100$ 保证表达式含有不超过120个元素。

输出格式

输出 $m$ 行，每行一个整数，表示对应的偏导数对 $10^9+7$ 取模的结果。即若结果为 $y$，输出为 $k$，则保证存在整数 $t$，满足 $y = k + t \cdot (10^9+7)$ 且 $0 \le k < 10^9+7$。

注意，当计算整数 $n$ 对 $M$ 的模时，若 $n$ 为负数，需要注意将结果调整至区间 $[0,M)$ 内。

样例 #1

样例输入 #1

2 2
x1 x1 x1 * x2 + *
1 2 3
2 3 4

样例输出 #1

15
3

提示

样例1解释

读取逆波兰式，可得被求导的式子是：$u=x_1 \cdot (x_1 \cdot x_1 + x_2)$，即 $u = x_1^3+x_1x_2$。

对 $x_1$ 求偏导得 $\frac{∂u}{∂x_1} = 3x_1^2+x_2$。代入 $(2,3)$ 得到 $\frac{∂u}{∂x_1}(2,3) = 15$。

对 $x_2$ 求偏导得 $\frac{∂u}{∂x_2} = x_1$。代入 $(3,4)$ 得到 $\frac{∂u}{∂x_2}(3,4) = 3$。

样例2解释

读取逆波兰式，可得被求导的式子是：$u = x_2 \cdot x_2 \cdot x_2 + 0 - (-10^5) \cdot (-10^5) \cdot x_2$，即 $u = x_2^3-10^{10}x_2$。

因为 $u$ 中实际上不含 $x_1$ 和 $x_3$，对这两者求偏导结果均为 $0$。

对 $x_2$ 求偏导得 $\frac{∂u}{∂x_2} = 3x_2^2-10^{10}$。